Базовая алгебра и вычисления¶

Sage может осуществлять вычисления такие, как поиск решений уравнений, дифференцирование, интегрирование и преобразования Лапласа. См. Sage Constructions , где содержатся примеры.

Метод Эйлера для решения систем дифференциальных уравнений¶

В следующем примере показан метод Эйлера для дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Сначала вспомним, что делается для уравнений первого порядка. Дана задача с начальными условиями в виде

\[y'=f(x,y), \quad y(a)=c,\]

требуется найти приблизительное значение решения при \(x=b\) и \(b>a\).

Из определения производной следует, что

\[y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},\]

где \(h>0\) дано и является небольшим. Это и дифференциальное уравнение дают \(f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}\). Теперь надо решить для \(y(x+h)\):

\[y(x+h) \approx y(x) + h\cdot f(x,y(x)).\]

Если назвать \(h\cdot f(x,y(x))\) «поправочным элементом», \(y(x)\) «прежним значением \(y\)» а \(y(x+h)\) «новым значением \(y\)», тогда данное приближение может быть выражено в виде

\[y_{new} \approx y_{old} + h\cdot f(x,y_{old}).\]

Если разбить интервал между \(a\) и \(b\) на \(n\) частей, чтобы \(h=\frac{b-a}{n}\), тогда можно записать информацию для данного метода в таблицу.

\(x\)	\(y\)	\(h\cdot f(x,y)\)
\(a\)	\(c\)	\(h\cdot f(a,c)\)
\(a+h\)	\(c+h\cdot f(a,c)\)	…
\(a+2h\)	…
…
\(b=a+nh\)	???	…

Целью является заполнить все пустоты в таблице по одному ряду за раз до момента достижения записи ???, которая и является приближенным значением метода Эйлера для \(y(b)\).

Решение систем дифференциальных уравнений похоже на решение обычных дифференциальных уравнений.

Пример: Найдите численное приблизительное значение для \(z(t)\) при \(t=1\), используя 4 шага метода Эйлера, где \(z''+tz'+z=0\), \(z(0)=1\), \(z'(0)=0\).

Требуется привести дифференциальное уравнение 2го порядка к системе двух дифференцальных уравнений первого порядка (используя \(x=z\), \(y=z'\)) и применить метод Эйлера:

Sage

sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Python

>>> from sage.all import *
>>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()
>>> f = y; g = -x - y * t
>>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4), Integer(1))
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Итак, \(z(1)\approx 0.75\).

Можно построить график для точек \((x,y)\), чтобы получить приблизительный вид кривой. Функция eulers_method_2x2_plot выполнит данную задачу; для этого надо определить функции f и g, аргумент которых имеет три координаты: (\(t\), \(x\), \(y\)).

Sage

sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)

Python

>>> from sage.all import *
>>> f = lambda z: z[Integer(2)]        # f(t,x,y) = y
>>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)])  # g(t,x,y) = -sin(x)
>>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber('0.0'), RealNumber('0.75'), RealNumber('0.0'), RealNumber('0.1'), RealNumber('1.0'))

В этот момент P содержит в себе два графика: P[0] - график \(x\) по \(t\) и P[1] - график \(y\) по \(t\). Оба эти графика могут быть выведены следующим образом:

Sage

sage: show(P[0] + P[1])

Python

>>> from sage.all import *
>>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])

Специальные функции¶

Несколько ортогональных полиномов и специальных функций осуществлены с помощью PARI [GAP] и Maxima [Max].

Sage

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.565159103992485
sage: bessel_I(2,1.1).n()
0.167089499251049

Python

>>> from sage.all import *
>>> x = polygen(QQ, 'x')
>>> chebyshev_U(Integer(2),x)
4*x^2 - 1
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()
0.565159103992485
>>> bessel_I(Integer(2),RealNumber('1.1')).n()
0.167089499251049

На данный момент Sage рассматривает данные функции только для численного применения. Для символьного использования нужно напрямую использовать интерфейс Maxima, как описано ниже:

Sage

sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
>>> maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

Базовая алгебра и вычисления¶

Решение уравнений¶

Точное решение уравнений¶

Численное решение уравнений¶

Дифференцирование, интегрирование и т.д.¶

Решение дифференциальных уравнений¶

Метод Эйлера для решения систем дифференциальных уравнений¶

Специальные функции¶